[2015년 운정고]

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[1학년 1학기 중간]

한 모서리의 길이가 [eqn: x]인 정육면체의 가로의 길이를 [eqn: x]만큼 늘이고, 세로의 길이는 [eqn: 2]만큼 줄이고, 높이는 [eqn: 3]만큼 늘여서 새로운 직육면체를 만들었다. 새로 만들어진 직육면체의 부피에서 처음 정육면체의 부피를 뺐을 때, 각 항의 계수들의 총합은?

②

① [eqn: -12]	② [eqn: -9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 22]

보기를 모두 만족시키는 사면체 [eqn: rmOABC]에 대하여
[eqn: {bar{rmOA}}^2 +{bar{rmOB}}^2 +{bar{rmOC}}^2]의 값은?

①

ㄱ. [eqn: {bar{rmOA}} +{bar{rmOB}} +{bar{rmOC}} =`12]이다.

ㄴ. 세 모서리 [eqn: rm OA], [eqn: rm OB], [eqn: rmOC]는 점 [eqn: rmO]에서 서로

수직이다.

ㄷ. 세 삼각형 [eqn: rm OAB], [eqn: rmOBC], [eqn: rmOCA]의 넓이의 합은

[eqn: 20]이다.

① [eqn: 64]	② [eqn: 78]	③ [eqn: 85]

④ [eqn: 96]	⑤ [eqn: 108]

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-2)^2]으로 나누었을 때, 나머지는 [eqn: 2x-1]이고 [eqn: x+1]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 6]이다. [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-2)^2 (x+1)]로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R(x)]라 할 때, [eqn: R(3)]의 값은?

②

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 등식
[eqn: (x ^{2} -x-2) ^{100} =a _{0} +a _{1} (x-1)+a _{2} (x-1) ^{2} + CDOTS +a _{200} (x-1) ^{200}]
이 성립할 때, 옳지 않은 것은?

③

① [eqn: a_0 =2^100]

② [eqn: a_200 =1]

③ [eqn: a_2 +a_4 +a_6 + CDOTS+a_200 = 2^100]

④ [eqn: a _{0} +a _{1} +a _{3} + CDOTS +a _{199} +a _{200} =0]

⑤ [eqn: a _{1} +a _{3} + CDOTS +a _{199} <a_0 +a _{2} +a _{4} +CDOTS +a _{200}]

다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) from =========================================================================================== 족보닷컴(zocbo.com) 본 해설은 족보닷컴에서 직접 풀이하고 입력하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================== from =========================================================================================== 족보닷컴(zocbo.com) 본 해설은 족보닷컴에서 직접 풀이하고 입력하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. ===========================================================================================]가 등식 [eqn: (x+7)f(x^2 )`=` 4x^3 f(x+1)+2x]을 만족시킬 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

④

ㄱ. [eqn: f(x)]는 이차다항식이다.

ㄴ. [eqn: f(0)+ f(1)`=` 1over3]이다.

ㄷ. [eqn: f(x)]를 [eqn: x-2]로 나눈 나머지는 [eqn: - 7over6]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

이차방정식 [eqn: x^2 +6x+3 `=`0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때 [eqn: |alpha|], [eqn: | beta |]를 두 근으로 하는 이차방정식은?

②

① [eqn: x^2 -6x-3`=`0]	② [eqn: x^2 -6x+3`=`0]

③ [eqn: x^2 +6x-3`=`0]	④ [eqn: x^2 +6x+3`=`0]

⑤ [eqn: x^2 +2root6 x-3`=`0]

[eqn: 0]이 아닌 복소수 [eqn: z]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: barz]는 [eqn: z]의 켤레복소수이고, [eqn: i `=`root-1]이다.)

①

ㄱ. [eqn: z^2 + {barz }^2`=`9]이면, [eqn: {z barz}over{z +barz}]는 실수이다.

ㄴ. [eqn: z^2]이 실수이면 [eqn: (z-1)^2]도 실수이다.

ㄷ. [eqn: z`=`- barz]이면 [eqn: z]는 실수이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

[eqn: -1 < x<1]일 때, 방정식 [eqn: [x^2 ] - [x]`=` 3x-2]의 해의 값은? (단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은, 최대의 정수이다.)

③

① [eqn: 0]	② [eqn: 1over3]	③ [eqn: 2over3]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 4over3]

[eqn: 0]이 아닌 네 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]에 대하여 [eqn: sqrt {a} sqrt {b} =- sqrt {ab}],
[eqn: rootd overrootc = -root{d over c}]일 때, [eqn: root{(a+c)^2}-rootc^2 -|a-d|]의 값은?

①

① [eqn: -d]	② [eqn: d]	③ [eqn: 2a-d]

④ [eqn: 2a+d]	⑤ [eqn: -2a-2c+d]

한 점 [eqn: (1,```2)]를 지나는 두 직선이 이차함수 [eqn: y= x^2 +2x+5]의 그래프와 접할 때, 두 직선의 기울기의 곱은?

⑤

① [eqn: -20]	② [eqn: -18]	③ [eqn: -12]

④ [eqn: -10]	⑤ [eqn: -8]

이차방정식 [eqn: x^2 -2x-5`=`0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때,
[eqn: f(alpha)=2beta], [eqn: f(beta)=2alpha], [eqn: f(2)=10]을 만족하는 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: 0le x le2]에서 [eqn: f(x)]의 최솟값은?

④

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

이차방정식 [eqn: ax^2 +(2-a)x+3=0]의 한 근은 [eqn: -1]과 [eqn: 0] 사이에, 다른 한 근은 [eqn: 2]와 [eqn: 3] 사이에 있도록 하는 모든 정수 [eqn: a]값들의 합은?

⑤

① [eqn: -2]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: -5]	⑤ [eqn: -6]

이차함수 [eqn: f(x)`=`ax^2 +bx+c]와 일차함수 [eqn: g(x)`=`mx+n]의
그래프가 그림과 같을 때, 옳은 것만을 보기에서 있는대로 고른 것은?

②

ㄱ. 방정식 [eqn: f(-x)`=`0]의 두근은 [eqn: -beta], [eqn: -delta]이다.

ㄴ. 방정식 [eqn: f(1-x)`=` g(x)]의 두 근의 곱은

[eqn: beta + delta+alphagamma+1]이다.

ㄷ. [eqn: alpha gamma > beta delta]

ㄹ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)`=` f(x-2)]이고,

[eqn: m`=`a]이면 [eqn: alpha +gamma `=`-1]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄷ	③ ㄱ, ㄷ, ㄹ

④ ㄴ, ㄷ, ㄹ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ

[eqn: left(x- 2overx right)^2 + left(2x+ 1overx right)^2 =20]일 때, [eqn: x+ 1overx]의 값은? (단, [eqn: x>0])

③

① [eqn: 2]	② [eqn: root5]	③ [eqn: root6]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 2root3]

삼차방정식 [eqn: x^3 +ax^2 -bx+2b=0]의 서로 다른 세 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]라고 한다. [eqn: alpha= 1+i]일 때, [eqn: alpha^4 + beta^4 + gamma^4]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수)

②

① [eqn: -4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 22]

삼차방정식 [eqn: x^3 +8 =0]의 한 허근을 [eqn: w]라고 할 때, 보기 중에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: barw]는 [eqn: w]의 켤레복소수이다.)

②

ㄱ. [eqn: w^2 -2w=4]

ㄴ. [eqn: 2(2-w)overw^2 + 4+w^2overw =1]

ㄷ. [eqn: 1over2-w + 1over{2-barw}= 1over2]

ㄹ. [eqn: (1-w^4 )(1-{barw }^4 )=225]

① ㄱ, ㄴ	② ㄴ, ㄷ	③ ㄴ, ㄹ

④ ㄷ, ㄹ	⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

서술형

다항식 [eqn: f(x)`=`x^3 -(a+b)x^2 -(a^2 +b^2 )x +a^3 +b^3 +a^2 b +ab^2]
에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) [eqn: (a ^{2} +b ^{2} -c ^{2} )(a+b-c)]

(2) 직각삼각형

(1) 다항식 [eqn: f(x)]가 [eqn: x-c]로 나누어떨어지도록 하는 조건을

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대한 식으로 나타내고 그 식을 인수분해

하는 과정을 서술하시오.

(2) (1)의 식을 만족시키는 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]를 세 변의 길이로 갖는

삼각형은 어떤 삼각형인지 구하고 그 이유를 서술하시오.

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: (m^2 -1)x^2 +2(m+1)x+2 =0]이 중근을 가질 때, 실수 [eqn: m]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오.

[eqn: -1] 또는 [eqn: 3]

[eqn: -2 leqx leq1]에서 함수 [eqn: f(x)`=`ax^2 +2ax +a^2 +3a]의 최댓값이 [eqn: 15]가 되도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오.

[eqn: -5] 또는 [eqn: 2 sqrt {6} -3]

어느 가게에서 제품 [eqn: A]의 하루 평균 매출액은 [eqn: 7]만원이었다. 이 제품의 개당 판매 가격을 [eqn: 200]원 인하하였더니 하루 판매량이 [eqn: 160]개 증가하여 하루 매출은 [eqn: 9]만원이 되었다. 인하하기 전 [eqn: A] 제품 한 개의 판매 가격을 [eqn: x]원, 인하하기 전 하루 판매 개수를 [eqn: y]개라 할 때, 인하하기 전의 제품 [eqn: A] 한 개의 판매 가격과 하루 판매 개수를 구하고 그 과정을 서술하시오.

[eqn: x=500], [eqn: y=140]

[2015년 운정고]

[1학년 1학기 중간]

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